セミパラメトリック推測理論のおはなし — BKRW を読む

千葉大学理学部数学 · 情報数理学科 今野良彦^{1}

0. はじめに . 古典的な母数模型における推測理論を拡張し、確率分布の全体のより「大きな」部分集合をモデルとするセミパラメトリックモデルにおける推測理論に関する論文や著書が近年おおく出版されている . ここでは、ひとつのアプローチである BKRW 流の（i.i.d. 標本における）理論の骨子の紹介を行った .

1. パラメトリックモデルの話 . モデル P = {P_{θ}; θ ∈ Θ ⊂ R^{k}} における母数の推定問題において、不偏推定量の分散に対する下限をあたえる Cramér-Rao の定理の漸近理論版である Hájek=稲垣のたたみこみ定理が知られている^{2} . これは、 ν = q(θ) の推定を考えたとき、 (1) モデルがある種の「なめらかさ」^{3} をもつ、 (2) q が全微分可能, (3) 推定量が正則、という 3 つの仮定のもと、その漸近分布は正規分布（平均がゼロで、分散が ν についての Fisher 情報行列の逆行列で与えられるもの）とそれとは独立のノイズの和の分布として表現でき、漸近的に観て推定がどこまで「よく」できるかということに対する限界を与えるものである . その限界に達する推定量を有効という .

2. セミパラメトリックモデルの話 . (X, A) 上の確率測度の集まりを P = {P_{g} ≪ μ; g ∈ G} と記す . ただし、 G は関数自由度も許すとする . 母数モデルにおける有効推定の議論を拡張するために、いくつかの概念が道具として必要である . 基本的には、接空間、スコア作用素、情報作用素^{4} 等である . 真のモデルを P_{0} と記す. P_{0} におけるモデルの接空間（Ṗ と書くことにする）は L_{2}^{0}(P_{0}) （P_{0} のもとでの平均がゼロになる L_{2} 空間の元からなる部分空間）の部分空間とみなすことができるが、 Ṗ が有限次元ではなく、その上 L_{2}^{0}(P_{0}) の真部分集合のとき、 Ṗ をセミパラメトリックモデルとよぶことにする . ν = ν(P_{g}) = ψ(g) を推定するとき、 (1) P のある種の可微分性もしくは LAN 、 (2) ν の道ごとの可微分性、 (3) 推定量が正則、であるときにたたみこみ定理の拡張が得られる . (2) の条件の成立を判定^{5} するのが、 Van der Vaart の可微分定理であり、 (3) を示すために Hoffmann-Jørgensen=Dudley 流の経験過程理論^{6} を援用する . また、 Euclid パラメータの推定に対する M- 推定法を拡張したもの、ノンパラメトリック最尤推定法（NPMLE）、 penalized 最尤推定法、 sieve 推定法等による有効推定量を構築するための一般的な議論が BKRW の第７章にあるが、個々のモデルにおいて有効推定量を導出するとき、一般議論における条件を確認するのは容易とはいいがたい . 最後に、 Interval censored data model, case I を例にしてこれらの概念がどのように働くを観た .

1 email address: konno@math.s.chiba-u.ac.jp

2 もうひとつの重要な定理である Hájek (1972) により局所漸近ミニマックス定理についてはここではふれないことにする .

3 モデルの局所尤度比の局所漸近正規性 (LAN ) に対する十分条件 .

4 母数モデルにおけるスコア関数、情報行列に対応するもので、 Euclid 空間における線形変換を有界線形作用素に置き換えた概念 .

5 パラメータの「なめらかさ」が失われると、情報作用素の逆作用素が有界でなくなり、推定量の収束のオーダーが 1/\sqrt{n} よりも遅くなり、たたみこみ定理の意味での有効性という概念が成立しなくなる .

6 これを可分ではない距離空間における弱収束の理論に基づくものであり、 modern empirical theory とよんでいる . 古典的な議論との（統計学者にとっての）違いは、確率や期待値の記号の右肩に ” * ” の印がつくことと entropy calculus という道具が必要になってくることである . この理論の統計学者向けのすぐれた成書として VdVW がある . 証明抜きで必要最少限のモダンな経験過程理論をまとめたものとして vdL の第１章がある .

3. おわりに . BKRW 以降^{7} 、 1990 年代の Annals of Statistics を中心にセミパラメトリックの理論研究^{8} に関する論文がたくさんあり、「旬の話題」といっても過言ではない^{9} .

参考文献

[BKRW] Bickel, P.J., Klaassen, C.A., Ritov, Y. and Wellner, J. Efficient and adaptive estimation for semiparametric models, Springer, 1998.

[G] Groeneboom, P. Lectures on inverse problems in ” Lectures on Probability Theory and Statistics”, Lecture notes in Mathematics 1648, 67–164, 1996.

[GW] Groeneboom, P. and Wellner, J. Information bounds and nonparametric maximum likelihood estimation, Birkhäuser, 1992.

[horowitz] Horowitz, J.L. Semiparametric methods in Econometrics Lecture notes in Statistics 131, Springer, 1998.

[huang] Huang, J. and Wellner, J. Asymptotic normality of the NPMLE of linear functionals for interval censored data, case 1, Statistica Neerlandica 49, 153–163, 1995.

[stein] Stein, C. Efficient nonparametric testing and estimation, ” Proc. Third Berkeley Symp. Math. Statist. Prob.” 1, 187–195, Univ. California Press, Berkeley, 1956.

[vdL] van der Laan, M.J. Efficient and inefficient estimation in semiparametric models, CWI Tracts 114, Center for Mathematics and Computer Science, 1995.

[VdV] Van der Vaart, A. Statistical estimation in large parameter spaces, CWI Tract 44, Center for Mathematics and Computer Science, 1988.

[VdVW] van der Vaart, A. and Wellner, J. Weak convergence and empirical preocess, Springer, 1996.

7 John Hopkins 版は 1991 年に刊行され、 Springer 版と内容は同じ .

8 計量経済学の理論研究においてもこの話題に関する論文がおおく、最近の成書として Horowitz がある .

9 modern empirical theory の整備に伴いようやく端緒についたものであり、まだまだ始まったばかりのこれからの話題であるというような主旨の発言を Wellner 氏はしていたように思える .