線形代数Ｉ・ＩＩ演習

空間の座標を斜めに取り直すことにより数学的な多くの事がらがより簡単に見えることを学びます。ベクトルや行列は多変数の問題を取り扱う際に必要な道具です。ｎ個の変数の問題はｎ次元空間の中の問題と考えることができます。座標を斜めに取り直すことは、変数たちを新しい変数たちの１次式たちによって置き換えることを意味します。それによって方程式を簡単な形に直して解き易くします。例えば、２変数の２次式は、xy のように異なる文字同士の積が無い、２乗の項だけの式に変形できます。

具体例を一つ見ましょう。5x²-6xy+5y²=8 という方程式は斜めに４５度傾いた楕円を表します。それは
と置いて１次変換することによって方程式を (1/4)s²+t²=1 と高校で習う標準形に変形できることから分かります。代入して計算してみて下さい。ただし、1/4 は４分の１を表します。xy 座標で見るよりも st 座標で見た方が分かり易いですね。この２次曲線の話は２年次の線形代数学IIIで学びますが、その計算の中核となる実対称行列の対角化は１年次の線形代数ＩＩで学びます。

線形代数Ｉでは、行列の基本変形による１次連立方程式の解法、行列の階数、行列式を勉強します。線形代数ＩＩでは、次元、内積、固有値と固有ベクトル、対角化を学びます。