卒業研究発表「torus knot の分類」H.H.

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私は torus knot の 分類について調べました。

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trivial knot とは円盤の縁（ふち）になっているものです。その trivial knot の近傍 V はドーナツ型をしていて、solid torus と言い、その表面 ∂V のような位置にある torus T を standard torus と言います。

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longitude はドーナツ穴をふさぐ disc の縁の輪っかで、meridian はドーナツの切り口の disc の縁になっています。

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(p,q)-torus knot とは standard torus 上に乗り、longitude 方向に p 回、meridian 方向に q 回まわっている knot のことです。

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longitude を p 本、meridian を q 本用意して、矢印が繋がるように繋ぎかえると (p,q)-torus knot が得られます。p や q が負のときは longitude や meridian の矢印を逆向きにします。

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結論。(p₁, q₁)-torus knot と (p₂, q₂)-torus knot は p,q の絶対値たちの組み合わせが一致するとき、また、そのときに限り同じ knot です。例えば (3,7)-torus knot と (7,-3)-torus knot は同じです。

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証明。まず、条件として trivial knot でない場合を考えるので、p の絶対値は２以上、q の絶対値も２以上です。
それ以外の場合 trivial knot であることは、例えば、2001 年度○○さんの卒業論文に書いてあります。
T_i は knot K が (p_i, q_i)-torus knot であることを表す standard torus です。
T₁ と T₂ の２枚あります。standard torus T_i を knot K で切った annulus A_i について考えます。

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A₁ と A₂ の交わりをきれいにすると、各 A_i 上で見て有限個の circle や arc になります。

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circle には図のように essential なものと inessential なものがあります。inessential circle ははずすことができます。

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arc には図のように essential なものと inessential なものがあります。inessential arc ははずすことができます。

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inssential circle, arc がなくなったので、T₁ と T₂ の交わりは essential circle ばかりになるか essential arc ばかりになるかのどちらかです。
今日は時間の都合により essential circle の方は省略して、essential arc ばかりのときを考えます。
１つの円盤 Q を立体的に見ます。

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peripheral disc の場合、図のように T₂ をへこますと交わりが無くなります。

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Q が meridian disc の場合、図のように少しずらすと Q と２点以下で交わり、p の絶対値は２以下になります。
non-trivial の条件より p が２以上なので、p＝２ になります。

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次に外側を考えます。外側の円盤を Q' とします。同様に考えて q＝２ になります。

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p が２、q が２の torus knot は輪っかが２つできるので knot ではありません。

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よって、交わりの circle も arc も無く、T₁ と T₂ の交わりは knot のところだけになります。証明は省略しますが、実は T₁ と T₂ は A_i の縁（knot）を固定して連続的に動かすと重なり合い、同じものになります。p と q の組み合わせは一致します。
これで発表を終わります。