卒業研究発表「twist knot の p 彩色の階数」A.I.

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私は twist knot の p 彩色の階数を調べました。

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まず、twist knot とは、８の字結び目のこの部分を twist して交差点を N 個まで増やしたものです。

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p 彩色の階数の定義を説明します。p を２以上の自然数とし、mod. p で 0 〜 p-1 までの数を diagram （結び目の図）の各 strand （ひもの線）に１つずつ対応させます。
交差点付近の３つの strand に x,y,z が対応するとき、2x ≡ y + z (mod. p) を交差点条件と言います。
そして全ての交差点に対して交差点条件を考えた連立方程式の解の個数が階数となります。
特に、階数が p より大きい場合は p 彩色可能と言います。

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例えば、これは各 strand を mod. 5 で 0,1,2,4 と対応させて交差点条件が全て成り立つので、5 彩色可能です。

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定理。どんな diagram でも、同じ knot ならば、階数の値は変わりません。
対偶を取ると、階数が異なる図は、違う knot を表すことが分かります。
そして、p 彩色可能な knot はほどけないことが知られています。

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結論�@　2N-3 と p の最大公約数を g とおくと、N 交点の twist knot の p 彩色の階数は gp になります。
特に g が 2 以上のときに p 彩色可能です。
結論�A　twist knot N₁ と twist knot N₂ が同じ knot であるのは N₁ = N₂ のときに限ります。
まず、結論�Aから証明します。

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N₁ ≠ N₂ ならば twist knot N₁ と twist knot N₂ が異なる knot であることを示します。
一般性を失わず、N₁ ＜ N₂ と仮定し、p = 2 N₂ - 3 とします。
まず twist knot N₁ の p 彩色の階数を求めます。
2N₁-3 と p = 2N₂-3 の最大公約数 g₁ は 2N₁-3 以下になります。
結論�@より、階数 p g₁ は (2N₂-3) (2N₁-3) 以下となります。

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次に twist knot N₂ の p 彩色の階数を求めます。
2N₂-3 と p = 2N₂-3 の最大公約数 g₂ は 2N₂-3 となります。
結論�@より、階数 p g₂ は (2N₂-3)² となります。
よって N₁ と N₂ の階数が異なるので、
N₁ ≠ N₂ ならば２つが異なる knot であることが証明されました。

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注意。6 交差点の twist knotと 15 交差点の twist knot は「p 彩色可能か不可能か」のみでは違う knot かどうか判断することができません。
2N-3 の素因数が一致するので、違う knot かどうかを判断できません。

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次に、結論�@の証明に入ります。
交差点 N 個の twist knot の階数を調べます。
図のように各 strand に e₁ 〜 e_N まで対応させました。
そして □1 〜 □N まで交差点条件はこうなります。

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その連立方程式を行列で考え、斜めに並んだ 1 を主要項にして掃き出していきます。

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その最後の状態がこれです。
N 行目に１行目を足すと、このように 0 だけになります。
この行列を連立方程式に戻します。

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ご覧の通り e₁ 〜 e_N-2 までは e_N-1 と e_N によって決まるので、自由度は e_N-1 と e_N のみ考えます。☆印のこの式に注目します。簡約公式より・・

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2N-3 と p の最大公約数を g とおくと、
☆より e_N ≡ e_N-1 (mod. p/g) となり、
よって e_N の 0 〜 p-1 を「g 分の p」個ずつ g 組に分けられ、e_N-1 の各値に対し式を満たす e_N は g 個ずつあるので、p 彩色の階数は gp ということが分かりました。
これで結論�@が証明されました。以上で私の発表を終わりにします。