卒業研究発表「２橋絡み目の linking number」Y.K.

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課題。２橋絡み目の linking number の一般式を求める。

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２橋絡み目はこの様なザブトン型で表すことができます。
絡み目自身はザブトンを含まず、下の図の様になります。
横の分割を p, 縦の分割を q とするとき、(p/q)-２橋絡み目と呼びます。
q が偶数のとき 2-component （輪が２つの絡み目）となります。

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向き付き 2-component link の link diagram D に対して crossing における符号を図のように設定します。
link 全体の crossing の符号の和を２で割ったものが linking number LN となります。
ただし、同じ component の crossing は和に含めません。

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上の図は＋が２つで− が４つだから（２−４）÷２で linking number は−１です。真ん中の２つの crossing は無視します。
下の図は実は上と同じ link ですが、やはり−１になっています。

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同じ向き付けられた link L の異なる link diagram（絡み目の図）D₁, D₂ において、D₁ と D₂ の linking number が同じという定理があります。つまり、linking number は link のみで決まり、その diagram に依存しません。

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分数 p/q はこの様に連分数展開ができます。
特に p/q が既約分数であり、かつ q が偶数のときは、r₁, r₂,..., r_n は全て偶数、かつ n は奇数となるように展開できます。

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結果。(p/q)-２橋絡み目の linking number は次の式で求めることができます。奇数番目を足して２で割ったものになっています。

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この様な diagram をハシゴ型２橋 link diagram と言います。
この四角をハシゴと呼び、ハシゴの中には縦ひねりが入り、上から数えてハシゴが奇数番目のときは右上がり線が前のひねりが＋、偶数番目のときは左上がり線が前が＋とします。

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(p/q)-２橋絡み目はハシゴ型 p/q = [r₁, r₂,..., r_n] と同じ絡み目になります。
p/q の連分数展開の r₁, r₂,..., r_n はハシゴの中に入る縦ひねり数です。特に q が偶数のときは縦ひねりが全て偶数で、ハシゴが奇数個にできます。

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ハシゴ型にしておくと、linking number は簡単に求まります。
４本の紐が絡まりながらおりてきますが、偶数ひねりを通過しても紐の並びは変わりません。
この図から分かる様に、linking number として数える crossing, つまり、別の輪の紐たちの crossing は必ず奇数番目に現れます。したがって liking number は先ほどの式で表せます。

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ハシゴ型２橋絡み目とザブトン型の２橋絡み目が対応していることを説明します。
ザブトンの表面に紐がのっているものと、ザブトンの内側に紐が押し込まれたものを用意します。
左辺を固定して右半分をねじるのが縦回転、底辺を固定して上半分をねじるのが横回転とします。
右側はザブトンにのせたまま変形したのですが、ザブトンの内側に押し込めば左のものと同じもののはずです。

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右側のザブトンの外側の両端に紐をつけると、ザブトン型２橋絡み目になりますが、左側のものはハシゴ型になっています。
左側のものの両端に紐をつけて変形するとこうなり、これを１８０°回転するとハシゴ型になります。