↑
プレツェルリンクの linking number を調べました。
↑
二重丸をねじれの房で繋いだものを pretzel link と言います。ai は房にある交差点の個数に符号を付けたものです。
↑
符号の付け方は、図のように右下から左へ行く strand （ひも）が上のときを正、その逆を負とします。例えば、左の図が＋３ねじれ、右が−４ねじれです。
↑
linking number は 2-component （輪っかが２つ）の場合のみ定義されています。
そのための条件は「偶数回ねじれている房が０個かつ房の本数が偶数」または「偶数回ねじれている房が２個」です。
具体例の図でも、赤と緑の２つの component が絡まっているのが分かります。
↑
次に、linking number を定義します。
図のように link に向きを付けます。
↑
向きの付いた link の交差点に符号を付けます。
左図のように下を通る矢印を時計回りに回転させて上の矢印と重なるときを＋、また、右図のように下を通る矢印を反時計回りに回転させて上の矢印と重なるときを−とします。
房のねじれの符号とは違うので注意して下さい。
↑
linking number の定義を説明します。向き付けられた link L が２つの component C1, C2 からなっているとします。
linking number とは、各交差点の符号の合計を２分の１して絶対値をとったものであるとします。この図の場合、a1 は−２、a2 は＋２、a3 は同一 component の紐たちの crossing なので数えません。
よって liking number は (-2+2)/2 = 0 となります。
定理です。異なる link diagram が同じ link を表すとき、linking number は一致することが知られています。
↑
結論@ ： 偶数回ねじれの房が０個かつ、房の数が偶数のとき、このようになります。
図を見れば、各房で赤と緑の component が絡まっているのが分かります。これより、この式が当てはまります。
↑
結論A ： 偶数ねじれの房がちょうど al, ak の２つあるとき、@房が奇数個のときこの式になり、房が偶数個のときこの式になります。
↑
奇数ねじれの房は同じ component の紐同士のねじれになっています。それを±１ねじれと置き換えます。そうしても房の両端の紐の矢印の向きは変わりません。特に、偶数ねじれの房のところはねじれの回数も矢印の向きも変わらないので、全体の linking number は変わりません。以下、奇数ねじれの房は全て±１ねじれとします。
↑
奇数ねじれの房が隣り合っていたら、片方を＋１、もう片方を−１ねじれに置き換えます。すると、RII 変形で２つの房を消すことができます。このとき、房の数の偶奇は変わりません。
↑
これで考えるべきパターンがたった４つになりますので、全てを調べれば先ほどの結果が導かれます。