卒業研究発表「３次元トーラス内の fundamental surfaces」藤沼佐智子

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藤沼佐智子です。
私は３次元トーラスの fundamental surfaces について調べました。

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３次元トーラス T³ とは、２次元トーラス T² が輪っか状に積み重なったもので、サークルを３つ掛けたものです。これをこのトーラスで切ると、３次元空間の中でも実現可能で、

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トーラスに厚みを付けたものになります。このアニュラスで切るとアニュラスに厚みを付けたものになり、さらにこの四角形で切ると

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四角形に厚みを付けたもの、つまり立方体になります。しかし、上下の面 f₁ 同士、左右の f₂ 同士、前後の f₃ 同士はもともとくっついていたので、同じ面と考えます。これを四面体に分けると

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このように６つの四面体に分かれます。
T³ の四面体分割ができました。
上下の f₁ は同じ面なので、区切り線も同じにすることに注意して下さい。右下のこの図は駄目です。
f₂ や f₃ も同様です。

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これは１つ目の四面体の中の normal disks で triangle type を x₁₁ 〜 x₁₄ 、square type を x₁₅ 〜 x₁₇ と記号を置きます。他の四面体の normal disks は以下の通りです。（発表時はプリント配布。）

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normal arc γ での matching equation について説明します。面 Δ の両側に２つの四面体 τ₁ と τ₂ があります。τ_i 内で γ を辺とする triangle normal disk type を Xi 、square normal disk type を Y_i 、それらの枚数を x_i , y_i とします。x₁ + y₁ = x₂ + y₂ を γ での matching equation と言います。

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T³ の matching equations の係数行列はこれです。

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normal surfaces は matching equations の解のベクトルで square type である i5, i6, i7 成分のうち２つ以上が０であるベクトルたちと１：１に対応しています。

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結論。T³ の fundamental surfaces は１１個で、P_A は頂点を取り囲む球面、P_B 〜 P_J は２次元トーラス、P_K は射影平面４つの連結和になります。
この fundamental surfaces の中に essential 球面が存在しないため、T₃ は素な３次元多様体であることを示されました。

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曲面たちをベクトルで表したものがこれです。

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曲面 A は、同じ矢印同士貼り合せると、頂点の周りの ball を取り囲む球面になります。B 〜 D はトーラスです。

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E 〜 J も実はトーラスになります。

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曲面 K は射影平面４個の連結和になり、向き付け不可能な曲面が出てきました。
以上で発表を終わります。