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３次元多様体とは、どの点の周りにも３次元開球体と同相な開近傍が取れる
コンパクトハウスドルフ位相空間のことを言います。
また、３次元多様体のオイラー標数は０であることが分かっています。
私は、四面体をどのように貼り合わせれば３次元多様体が得られるか、
四面体２つ以下の貼り合わせの場合を調べました。
今回は、四面体１つの貼り合わせの一例について解説します。
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まず、四面体の面をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ
辺を１〜６
頂点をピンク、青、緑、オレンジと決めます。
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この四面体の展開図がこちらです。
ここではＡとＢ、ＣとＤの面を貼り合わせます。
ＣとＤはこのまま 6 の辺を軸に折り返すように貼り合わせますが、
Ａは以下のように三分の一回転させて、Ｂと貼り合わせます。
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まず、面Ａの辺１は面Ｂの辺２と重なりますので、
このように辺１に矢印を引いたとすると、
Ｂの辺２にも、同じ方向に矢印が引かれます。
Ｂの辺２と面Ａの辺２は同じものなので、
こちらの辺２にも、同じようにオレンジからピンクに向けて矢印が引かれます。
今度はそのＡの辺２と重なるＢの辺５にも同様に矢印を引きます。
これらを繰り返すと、最初にスタートした１の辺へと戻ってきます。
このまとまりで１本の辺となります。
また、残った辺６は、それだけで１本の辺になります。
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頂点の方も同様に調べると、４色に分けた四面体の頂点が一つに集まることが分かります。
よって、頂点が１つ、辺が２本、面は貼り合わさるので２枚、
３−ｃｅｌｌは四面体が１つなので１ということで、オイラー標数は０。
よって、これは３次元多様体である可能性があります。
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どの点の周りにも球体の近傍が取れれば３次元多様体です。
今回は頂点の周りのみ調べます。
４つの頂点の周りを切り取り、切り口の三角形たちを貼り合わせたものは
球面となることを確認します。
まず、切り口の三角形たちがどのように貼り合わさるか調べます。
Ａの面はまず三分の一回転し、このように裏返ってＢと貼り合わさります。
よって、Ａの切り口の三角形の辺にこのように矢印を引くと、
Ｂにも同じように矢印が引かれます。
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また、ＣとＤに関しても、
Ｃの面は裏返ってＤと貼り合わさります。
よって、Ｃの切り口の三角形の辺にこのように矢印を引くと、
Ｄにも同じように矢印が引かれます。
こうして、貼りあわせを調べた切り口の三角形たちを
矢印の向きが一致するように貼りあわせると、
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このような形になります。
切り口の三角形たちを貼り合せたものが球面となりましたので、この頂点の周りには球面が積み重なっており、球体の近傍がとれます。
この四面体の貼り合わせは３次元多様体が得られるものであることが分かりました。
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なお、もしも切り口の三角形たちの張り合わせが球面でなく、例えばトーラスになってしまったら、トーラスが積み重なってだんだん小さくなり、頂点に収束することになります。頂点の近傍として球体が取れませんので、３次元多様体ではありません。
以上で発表を終わります。