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木暮麻奈美です。
私は link exterior の truncated 四面体分割について研究しました。
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３次元球面 S3 とは xyz-３次元空間に無限遠点を付け加えたものです。
S3 の中の球面は S3 を外側の ball と内側の ball の２つの ball に分けます。
絡み目とは S3 内の絡まった輪っかたちで、絡み目の図は球面上にのせます。
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link exterior とは S3 から link の近傍のドーナツたちを繰り抜いて残った部分のことです。
次に truncated 四面体とは四面体から４つの角を削ったものです。
研究結果は「どんな link もその exterior はいくつかの truncated 四面体に分割できる」という結論になりました。
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52 結び目で具体例を紹介します。
初めに、つながった２角形領域をこの様に変形してなくします。
次に２つの２角形領域に矢印を付け加えます。
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３番目に曲面を張ります。
まず、２角形と交差点付近以外は球面と一致するように曲面を張ります。
次に、交差点付近は、このような半ひねりの４角形を２枚張ります。
２枚の４角形を同時に配置すると、各交差点付近では一本の arc で交わっています。
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最後に２角形付近にこのような４つの曲面をはります。
配置の上下は（イ）の領域で上から青、赤、緑、
（ロ）の領域で上から緑、茶、青の順に張ります。
部分図です。
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４番目に３番目に張った曲面に沿って S3 を切ります。
内側の ball もどきと外側の ball もどきに分かれます。
ball の表面は２角形付近は矢印の線、それ以外の各交差点は１本の arc で癒着しています。
内側の ball の表面の癒着をはがしていきます。
まず２角形付近では手前側からハサミを入れて ball を図のように膨らませます。
最後はこの様になります。
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次に交差点付近でも手前側からハサミを入れて膨らませるとこのようになります。
内側の ball の表面の癒着を全てはがすと図のようになります。
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５番目に結び目に沿って ball の表面を削ります。
削った部分を縮めた図がこれです。
６番目にこのような４角形以上になっている領域に補助線を付け加えて全て３角形に分割します。
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７番目に truncated 四面体に分割していきます。
truncated 四面体を作り、はがしていきます。
truncated 四面体の作り方は２パターンあって、１パターン目が１つの角を中心に３枚の３角形が集まっているもので、はがすとこうなります。
立体的に見るとこの部分をはがします。
２パターン目は２枚の３角形が隣接しているもので、はがすとこうなります。
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分割していくと、
最初の２個はパターン１の操作で truncated 四面体をはがせます。
３個目はここに補助線を加えてこの部分にパターン２の操作で truncated 四面体をはがせます。
すると最後に１個の truncated 四面体が残ったので、内側の ball の表面は計４個の truncated 四面体に分割することができました。
外側の ball も同様に分割することができます。
以上で発表を終わります。