卒業研究発表「(p,1)-lens space における normal surface 理論」平野玲子

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平野玲子です。
私は (3,1)-lens space における fundamental surface を調べました。

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(p,1)-lens space とは p 角錐の２つの底面同士を貼り合わせてできた 2p 面体において、下の p 角錐の錘面たちを 1/p ひねって上の p 角錐の錘面たちに貼り合わせてできる多様体のことです。図は p=3 のときの図で、同じ頂点や辺や面たちは同じ記号で表します。

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さらに、左の図の α を軸とする羽根車の面たちで分割すると、p 個の四面体になります。

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M は３次元多様体、T は M の四面体分割、F は M 内の閉曲面とします。このとき、F が T に関して normal surface であるとは、各四面体 τ に対して F と τ の交わりが互いに交わらない normal disk たちになっていることです。
ただし normal disk とは・・

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この７つのタイプの disk たちのことです。三角形タイプは４つ、四角形タイプはこの３つです。

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なお、一つの四面体の中に２種類以上の square type が存在すると、図のように交わってしまいます。normal surface は自己交差があってはいけませんので、これは反則です。

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k 番目の四面体における normal disk たちに、このように番号を付けます。三角形タイプには x_k1 から x_k4 、四角形タイプは x_k5 から x_k7 です。

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normal surface を表すベクトルを説明します。
このベクトル v(g) は normal disk x₁₁ から x₃₇ の枚数を表しています。この図の通り x₁₇ 成分は 2 枚となっています。これらの disks が貼り合わさって曲面 g ができます。

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normal surface S に対して v(S) = v(S₁) + v(S₂) となる normal surface S₁ と S₂ が存在し「ない」とき、S を fundamental surface と言います。

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M は３次元多様体、S は M 内の２次元球面とします。このとき、S が essential 球面であるとは S が M 内の ball の表面にならないことです。

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３次元多様体 M 内の球面が separating であるとは、M を球面に沿って切ったとき、連結成分が増えることです。

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M は向き付け可能３次元多様体とします。このとき、M が素であるとは M 内のどんな separating 球面も essential で「ない」ことです。

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M は３次元多様体、T は M の四面体分割とします。M がessential 球面を含むならば、T に関して fundamental である essential 球面が存在することが知られています。
この定理を用いて多様体が素であるかないか判定できます。

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今までに四面体分割に対して fundamental surfaces の具体例を計算したという論文は発表されていません。コンピュータで計算したといううわさもありますが、公表されていません。
(3,1)-lens space の fundamental surface は、回転対称なものを同じと見なせば、このように、射影平面４つの連結和、頂点を取り囲む球面、軸 α を取り囲む torus と essential でない球面で全部でした。essential 球面が存在しないため、よく知られているように、(3,1)-lens space は素な多様体であることが示されました。
因みに、最初の「射影平面４つの連結和」とは・・

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このような曲面です。(3,1)-lens space の中であっても自己交差を持ちます。
(2,1)-lens space も同様に調べました。
以上で発表を終わります。