↑
余語美奈子です。
solid Klein bottle を３つの四面体に分割し、fundamental surfaces を求めました。
↑
Kelin bottle はこの四角形 disk の縁の同じ矢印の辺同士を貼りあわせてできる図形です。solid Klein bottle は中身の詰まった Klein bottle で、この ball の表面上の二つの斜線部分の disk を左右逆にして貼りあわせて得られます。
↑
solid Klein bottle を３つの四面体に分割します。このとき、天井面と底面が貼り合わさります。ただし、同じ形の矢印の辺の向きが合わさります。normal disk を調べ、matching equations の連立方程式を立てて解くと、この様な一般解 P が実数の範囲で得られます。
↑
私の研究では fundamental surface を全て求めました。その計算方法を紹介します。先ほどの一般解 P はこの様に書き直すことができます。
成分は disk の枚数だから A 〜 J , L, N は整数と分かります。
また、自己交差しない場合を考えるので、squre type の 5, 6, 7 成分の２つ以上、12, 13, 14 成分の２つ以上、19, 20, 21 成分の２つ以上が 0 になり、それらの組み合わせて２７通りの場合に分けられます。
↑
時間の都合上、２７通りのうち、最初の case のみの説明とさせて頂きます。ここでは 6, 7, 13, 14, 20, 21 成分 = 0 の場合を考えます。すると、これらの式が得られます。一般解 P にこれらを代入します。
↑
ここで、全ての成分は disk の枚数で、0 以上になっています。A, B, D, E, N は 0 以上ですから、正負が不明なのは H のみと考えられます。ここで、H ≧ 0 とすると、一般解 P はこの様な式で表すことができます。fundamental solution の定義より、式が２つ以上の項に分解されないので、係数の１つだけ 1、他は 0 となるので、fundamental solution であり得るのは PA , PB , PD , PE , PH , PN となります。
↑
次に H ＜ 0 の場合を考えます。A, N は 0 以上なので、この様な不等式が成り立ちます。A が入っている成分、A+N, A, A+H が全て正とすると、一般解 P は PA と「残りのベクトル」に分解されて、「残りのベクトル」の成分は全て 0 以上です。P は fundamental であるから分解できてはいけないので、「残りのベクトル」は 0 でなくてはいけません。fundamental solution になり得るのは PA です。A+N, A, A+H が「全て正」ではないとすると、最も小さい A+H が 0 となります。H = -A を P に代入すると次の様に変形できます。
↑
この操作を他の文字についても同様に行います。
↑
0 と A だけの式に変形できます。fundamental solution であるためには、A を 1 と設定します。こうして fundamental solutions の候補が得られました。
この fundamental solution のベクトルが表す曲面を調べると、次の図が得られました。
↑
この曲面のオレンジの矢印の辺は天井面と底面に入っていて、ひっくり返って貼り合わさるから、同じ辺として曲面が繋がります。曲面全体は disk であることが分かります。これが fundamental surface と呼ばれるものです。
私の研究において、fundamental surfaces は全部で２１枚ですが、以下の図のように、底面と平行な disk, 表面に押し付けられる disk, Moebius band, annulus などの曲面が出てきました。
