平田唯「８の字結び目外部における境界付き normal surface 理論」

８の字結び目がほどけないことを Haken の normal surface の理論を用いて証明した。
　結び目は３次元球面の中にあるものと考える。８の字結び目の外部が「角を削られた四面体」２つに分解できることは良く知られている。背理法の仮定として８の字結び目がほどけるとすると、８の字結び目を縁とする円盤が３次元球面の中に存在し、結び目外部には本質的円盤が入ることになる。この円盤は「角を削られた四面体」たちに対して、綺麗な位置にあるように変形することができる。つまり、各四面体と normal disk と呼ばれる円盤たちで交わるようにできる。このように、normal disks を張り合わせてできるのが normal surface である。normal surface のオイラー標数を normal disks の「オイラー標数への貢献値」を足し合わせて計算できることを利用して、８の字結び目外部のこの分割においては normal surfaces の中に円盤が存在しないことを示し、矛盾を導いた。