卒業研究発表「2-bridge knot はいつ trivial knot か？」内藤杏美

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内藤杏美です。
私は「2-bridge knot はいつ trivial knot か？」について研究しました。

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まず 2-bridge knot の定義ですが、図のように、上ばかり通るひも２本、下ばかり通るひも２本でできる knot diagram を持つ knot のことです。

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trivial knot とは、ある円盤 D のふちになっている knot K のことです。

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ライデマイスター変形は、結び目の図の部分的変形で、１角形の角の交差点をねじってはずすのが RI 変形、２角形の角の交差点をずらしてはずすのが RII 変形です。

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研究の結果、2-bridge diagram が trivial knot を表すならば、knot diagram に対し、「１角形を消すライデマイスターＩ変形」や「２角形を消すライデマイスター�U変形」を有限回うまく組み合わせて適用すると、その 2-bridge diagram の交差点がなくなることが分かりました。

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例えば、この結び目は RI 変形や RII 変形で交差点を減らせないので、ほどけません。

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では、証明に入ります。
2-bridge knot の knot diagram を２次元球面 Π 上に乗せます。この diagram の上ばかり通るひも２本 a₁ , a₂ を Π の外側に、下ばかり通るひも２本 b₁ , b₂ を Π の内側に引っ張り、それぞれを t₁₁ , t₁₂ , t₂₁ , t₂₂ と置きます。ひもの軌跡には disk を張り、Q₁₁ , Q₁₂ , Q₂₁ , Q₂₂ と呼びます。

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結び目は３次元球面内で考えます。
Π を境界にして３次元球面を２つの ball に分けます。
Π の外側の ball には t₁₁ , t₁₂ が含まれ、内側には t₂₁ , t₂₂ が含まれます。ball の表面と Q_1i の交わりは a_i , Q_2j の交わりは b_j となっています。

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結び目はほどけるので、円盤 D のふちになっています。
D と Π や、D と Q_ij の交わりは circle や arc になるように変形できます。それらを減らしていきます。 減らしきった具体例を１つ説明します。緑色の線は D と Π の交わり、黄色の線は D と Q_ij の交わりです。この arc は B₁ , B₂ 内ではどのように現れるか観察します。

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円盤 D は茶色の曲面に分解されます。
上の図の緑の輪っかは a₁ や a₂ とは交わりません。
下の図の緑の輪っかは B₂ の表面を２つの円盤に分けますが、上半分の方を取り出して観察します。a₁ か a₂ のどちらか一本がこの円盤の中にすっぽり収まります。

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a_i は b₁ , b₂ によって、１角形や２角形ができることが考えられます。この場合、２角形を RII 変形で減らしたり、１角形を RI 変形で減らしたりします。

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すると、a_i と b₁ , b₂ の交わりは無くなります。
下半分の円盤でも同じことをすると、結び目の図全体で交差点が無くなります。これで結論が得られました。