卒業研究発表「ｎ変数連立１次方程式の解空間とｎ−１次元標準単体との交わり」中根瑞貴

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これから林ゼミの発表をはじめます。
中根瑞貴です。
私は ｎ変数同次連立１次方程式の解空間とｎ−１次元標準単体との交わりについて、ｎが３と４のときを調べました。

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ｎ−１次元標準単体 Δ^n-1 とは、ｎ次元空間の部分集合で、成分の和が 1 かつどの成分も 0 以上を満たす点 全てからなるものです。
例えばこれは Δ² と Δ³ の図です。Δ³ は四面体です。

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４変数の同次１次方程式１本の場合に、その解空間 V と Δ³ の交わりについて発表します。交わりが無かったり、交わりが Δ³ 全体であったり、頂点であったり、辺であったり、３角形や４角形型の円盤であったりします。
交わりが４角形になる場合を説明します。

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交わりが４角形になるのは、方程式の係数のうち２つが正で２つが負になる場合です。例えば、第１成分と第３成分が正、第２成分と第４成分が負の場合を説明します。このときの Ax = 0 を解くと、このような解になります。α、β、γ は自由定数です。

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Δ³ の辺との交わりを調べました。
すると、x と y が 0 、x と w が 0 、y と z が 0 、z と w が 0 の辺との交わりがあることが分かりました。交点のそれぞれを P₁ , P₂ , P₃ , P₄ と置きます。

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そのとき、本当に交わりは P₁ , P₂ , P₃ , P₄ が頂点の４角形円盤になっているのかを調べます。
これは先ほどの一般解です。Δとの交点は、全ての成分の和は１、かつ全ての成分は 0 以上です。

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頂点が P₁ , P₂ , P₃ , P₄ の４角形円盤のどの点もこのような式で表すことができます。交わりの点がこの形に表せるかどうか調べます。
つまり、これらの式を満たす s, t, u, v は存在するのかが問題です。この連立方程式を解きます。

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連立方程式を解いたこの３つの式を s + t + u + v に代入して、条件式�@を使うと、= 1 が言えます。計算は省略します。
次に、全てが 0 以上になるのかを調べます。これは、s, u, v が 0 以上になるような t の範囲を求めればいいのです。ただし、t も 0 以上です。
この３つの式から t の範囲を求めます。

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初めに λ₁ , λ₃ を正、λ₂ , λ₄ を負と置いていたことと、条件�Aより、t の範囲は簡単に求まります。この４つの t の範囲をまとめるため、２つずつ右辺の大小を比較していきます。途中の計算は省略します。

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まとめると、(ii) と (iv) の右辺の最大が、(i) と (iii) の右辺の最小以下になりました。
よって、(i) から (iv) の全てを満たす t の範囲は存在することが明らかになり、交わりは P₁ , P₂ , P₃ , P₄ を頂点とした４角形円盤であることが示されました。