卒業研究発表「Whitehead link 外部における normal surface 理論」小川真沙美

↑
小川真沙美です。
Whitehead link 外部の normal surface について調べました。

↑
Whitehead link は３次元球面内の図のような絡み目です。
２つの輪っかがはずれないことを証明します。

↑
絡み目外部とは S³ から link の近傍を繰り抜いた残りの部分です。
Whitehead link の外部を M とします。

↑
絡み目がはずれるとは link の成分を分けるような２次元球面 S が S³ 内に存在することです。その球面を split 球面と言います。

↑
Whitehead link 外部は８面体の角を削ったものに分割できることが知られています。
この８面体は中身が詰まっています。図の同じ色の面を辺の番号と矢印を揃（そろ）えて貼り合わせると Whitehead link の外部になります。
例えば、この 1-2-3 のオレンジ色の面がこちらの 1-2-3 のオレンジ色の面と貼り合わさります。
通常の normal surface の理論は４面体分割に対するものですが、今回は８面体分割のままで試みました。

↑
８面体の normal disk は全部で４種類あります。頂点を 1: 5 , 2: 4, 3: 3 に分けるものがあり、3: 3 の type は３点が面を共有するものとそうでないものがあります。

↑
この２枚の normal disk たちは平行なので同じ type です。

↑
M 内の閉曲面が normal surface であるとは normal disk たちの和集合であることです。もしも M 内に split 球面があったならば、normal surface に変形することができます。
全ての normal surface を調べて、split 球面が存在しないことを示します。

↑
時間の都合でこの場合だけ説明します。つまり normal surface が面を切り取る 3: 3 disk を含んでいる場合です。その type を x₇ とします。x₁〜x₆ , x₈〜x₁₃ は x₇ と交わらない normal disk の type たちです。

↑
normal surface は matching equations を満たします。８面体分割の貼り合わさる normal arc type を γ , γ ' とします。γ を辺として持つ normal disc の枚数と γ ' を辺として持つ type の枚数の合計が等しいという式が matching equation です。前のページの面を切り取る disk がある場合に matching equtions を解くと、・・・

↑
解空間の基底に P_a , P_b , P_c が現れますが、一般解 P の成分は disk の枚数のため、全て 0 以上です。したがって c = 0 になります。

↑
P_a , P_b で表される曲面を図示すると、２つともトーラスになっています。従って normal surface は P_a が平行に a 枚、P_b が平行に b 枚の disjoint union です。これ以外の normal disk のどんな組み合わせで matching equation を解いても、現れる normal surface はトーラスだけでした。従って、M には split 球面が含まれません。
つまり、Whitehead link ははずれないことが示せました。