卒業研究発表「２つ以下の四面体でできる３次元多様体の Q-fundamental surface」佐藤絵里子

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佐藤絵里子です。
３次元トーラスの fundamental surface は去年藤沼さんが調べましたが、私はそれを Q-theory で求めてみました。

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まず、３次元トーラスをこのトーラスできります。すると、トーラス×区間になります。これはトーラスに厚みを付けたものと同相です。さらにこのアニュラスで切ります。するとアニュラス×区間になります。それをこの四角形で切ります。

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すると立方体になります。辺と面に名前を付けます。もともとくっついていた面や辺は同じ名前にします。
立方体はこのように６つの四面体に分割できます。貼り合わさる面は分割の辺も貼り合わさるようにします。

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normal disk の全ての square type に X₁₁ 〜 X₆₃ の番号を付け、Q-matching equation の実数解を求め、解空間の基底たちを P_a 〜 P_l と置きます。

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次に fundamental solution を求めます。一般解 P の各成分は 0 以上より、f, g, h ≧ 0 となります (第 10, 11, 12 成分参照)。
a ＞ 0 のとき、第１成分〜第３成分の a+g, a+f, a+h は 0 より大きいので square condition に反します。b, i の場合も同様です。

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次に a ＜ 0 のとき、P は左側と右側の２つのベクトルに分解できますが、左側の第 10 成分から第 12 成分までは第１成分から第３成分までと同じになり 0 以上、P は fundamental ということから左側のベクトルは 0 になります。また -a = 1 となります。結局、fundamental となり得るのは P = 右側のベクトル P_a' のときだけです。b, i についても同様です。

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次に a=0, b=0 かつ i=0 のときです。このとき、P の各成分は 0 以上の整数となります。fundamental になり得るのは P が P_c , P_d , P_e , P_f , P_g , P_h , P_j , P_k または P_l のときです。したがって P_a 〜 P_l , P_a' , P_b' , P_i' が fundamental solution の全てです。

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例として P_g に対応する fundamental surface を求めます。
P_g のベクトルを見ると、立方体の中に X₁₁ の square type の normal disk が１枚と、X₄₂ の square type が一枚配置されていることが分かります。これに triangle type を配置していきます。
まず、上の sqaure type のこの辺 (２つ目の図の上の緑色の四角形の左の辺) に貼り合わさる triangle type を考えます (青い三角形)。天辺にある面のこの辺 (青い三角形の上の辺) は底面のこの辺 (立方体の底面にある緑の辺) と貼り合わさります。次にこの辺 (青い三角形の左の辺) で貼り合わさる triangle type を考えます。

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左の面のこの辺 (１つ目の図の立方体の左の面の中の青い点線) と右の面のこの辺 (立方体の右の面の緑の実線) は貼り合わさります。下半分も同様に考えて triangle type の normal disk を繋げていきます。

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この２つの長方形を立方体の中から抜き出し、同じ辺同士を貼り合わせて、どのような曲面になっているか調べます。

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まず、e₄ 同士で貼り合わせます。すると１枚の disk になります。次に e₂ , e₃ を１つの辺と見なし、e₅ と置きます。そして e₁ 同士で張り合わせると、このような筒になります。

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そして最後に e₅ 同士を貼りあわせるとトーラスになります。他の fundamental surface もトーラスでした。したがって３次元トーラスは essential 球面を含まないので、素 (そ) な多様体であることが示されました。