卒業研究発表「４次元多様体の具体例の単体分割」染谷文香

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染谷文香です。
４次元多様体の単体分割について研究しました。

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コンパクト・ハウスドルフ位相空間 X が n 次元閉多様体であるとは、X のどんな点 p の周りにもうまい開近傍 U がとれて、n 次元開球体と同相になることです。

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４次元単体とは、３次元単体に４次元目の頂点を１つ付け加えたもので、この式で表されるものと頂点、辺、面の模様も含めて同相なもののことを言います。４次元単体は表面の５つの３次元単体に取り囲まれています。

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４次元多様体の具体例として、４次元トーラス T⁴、実４次元射影空間 RP⁴、複素射影平面 CP² を調べました。今日は RP⁴ について述べます。R⁵ - {0} で原点を通る直線上の点を全て同一視したものです。

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結果として、T⁴ と RP⁴ を単体分割、CP² を胞体分割とハンドル分解し、それぞれオイラー標数を求めました。頂点の数−辺の数＋面の数−３次元単体の数＋４次元単体の数で、T⁴ は 0, 　RP⁴ は 1, 　CP² は３です。オイラー標数が異なるので、これらはどの２つも同相でないということが言えます。今日は特に RP⁴ の単体分割について述べます。

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ここに４次元球面 S の模式図があります。RP⁴ では原点対象の２点を同一視するので、A と A', B と B', C と C', D と D', E と E' はそれぞれ同じ点です。つまり t が負の半球面は t が正の半球面の点たちに代表されます。

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これは右半球面の図です。RP⁴ では表面の t=0 のところの原点対称な２点 (x, y, z, w, 0) と -(x, y, z, w, 0) が同一視されます。次に、右半球面を t 軸の＋方向から見ます。

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これらの球体はそれぞれ中身ありのもので、縦にも隙間なく敷き詰まっています。中央の球体の表面に A, B, 天辺に C という頂点を取ります。それぞれ A と A', B と B', C と C' が同一視されます。

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中央の球体で cut すると左の図のようになり、さらに「赤道面が積み重なった円錐体」で cut すると、４つの４次元球体に分割されます。これらは A, A', B, B', C を頂点として４次元単体と同相です。
以上で RP⁴ の単体分割ができました。

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ここで、面の数を数えるのが難しかったので、解説します。
この２つのピンクの面が同一視されます。赤道に底辺を持つこのタイプの面が４枚。赤道面である黄色と緑の面で２枚。
また、BB' を底辺に持つオレンジと紫の面は同一視されないため、２枚と数えます。

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次に、中央の球体のオレンジの面と紫の面は、それぞれ同一視され、２枚となります。

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最後に、オレンジの面と紫の面が同一視され、こちらも２枚となり、合計すると面の数は全部で１２枚となります。
以上で発表を終わります。