卒業研究発表「lens space の Q-fundamental surface」岩倉美和

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岩倉美和です。 lens space における Q-fundamental surface について発表します。

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(p,q)-lens space という３次元多様体を定義します。p と q は互いに素な自然数、p は q より大きいとします。２つの p 角錐の底面同士を張り合わせます。上の p 角錐の錘面たちは、下の p 角錐の錘面たちと貼り合わさります。これが (p,q)-lens space です。例えば、(4,1)-lens space の場合、ｖ＋, ｖ０, ｖ１の面は１／４回転して ｖ−, ｖ１, ｖ２の面と貼り合わさります。ｖ＋, ｖ１, ｖ２の面は ｖ−, ｖ２, ｖ３ の面と貼り合わさります。他の２組の面も同様に１／４回転して貼り合わさります。

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(p,q)-lens space を中心軸 α を取り囲む p 個の四面体に分割します。(4,1)-lens space の場合、４つの四面体に分割します。また、lens space では p 個の四面体の水平の辺たちは全て貼り合わさって、１つの辺になります。各四面体の水平の辺を E_h とおき、軸 α に対応する垂直な辺を E_v とおきます。

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四面体の normal disk type は triangle type が４つと square type が３つの７種類あります。square type の normal disk を短く Q-disk と言います。

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square condition について述べます。１つの四面体の中に２種類以上の Q-disk が存在すると交差してしまいます。交差のない曲面を考えたいので、各四面体内に Q-disk は高々１種類とします。これが square condition です。

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定義 Q-matching equation
四角形の normal disk の type たちに、X_１ から X_3t まで番号を付けます。ただし、t は四面体分割の四面体の数とします。e_k を四面体分割 τ の k 番目の辺とします。このとき、sense を以下のように定義します。e_k を手前に見ます。そのとき、左肩上がりの normal disk X_i に対して sense ε_k,i は１、右肩上がりの W-disk X_j に対して sense は−１、どちらでもない Q-disk X_l に対して sense は０と決めます。小文字の f_i を normal surface F を構成する type X_i の normal disk の枚数とします。F ベクトルは f_i たちを並べたベクトルとします。F ベクトルはこの連立一次方程式 the Q-matching equations の解になります。この方程式は、四面体分割の各辺に対して立てられます。

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定理　M を３次元多様体とする。もし F が M 内の normal surface ならば、Q-matching equations の解であり、square condition を満たす。逆に 0 でないベクトル z が Q-matching equations の解で square condition を満たすならば、そのとき F ベクトル＝ z ベクトルとなる normal surface F が存在する。頂点を取り囲む球面を無視すれば、F は z に対して一意的に決まる。

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Q-fundamental surface
normal surface Ｆ が Q-fundamental surface であるとは、F ベクトルが F₁ ベクトル＋ F₂ ベクトルと分解できるような normal surfaces の組 F₁, F₂ が存在しないことを言います。

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定義　essential 球面
M を３次元多様体、S を M 内の２次元球面とする。S が essential 球面であるとは、S が M 内の ball の表面になっていないことです。この図は１次元低い模式図で、circle S¹ は M から円盤を切り取らないので essential です。

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定理　M を３次元多様体、τ を M の四面体分割とします。M が essential 球面を含むならば、τ に関して Q-fundamental である essential 球面または射影平面が存在する。

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(p,1)-lens space の場合、図のように辺の番号を付けます。1/p 回転して、同じ番号の辺同士が貼り合わさります。

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Q-type の normal disk に番号を付けます。k 番目の四面体を τ_k とし、軸 α を手前に見て右上がりの normal disk を X_k2, 左上がりのものを X_k3 とします。軸と交わらないものは X_k1 です。

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(p,1)-lens space の場合、sense は先程の normal disks X_k1 , X_k2 , X_k3 に対して、このようになります。

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よって (p,1)-lens space の Q-matching equations の係数行列はこのようになります。行は辺と対応していて、上から e₁ , e₂ , …, e_p , E_h , E_v となっています。列は normal disk の type の番号と対応していて、τ₁ の X₁₁ , X₁₂ , X₁₃ , τ２の X₂₁ , X₂₂ , X₂₃ , …τ_p の X_p1 , X_p2 , X_p3 となっています。この行列は p+2 行 3p 列です。rank を計算すると p です。

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the Q-matching equations を実数の範囲で解いて、解空間の基底を求めました。基底は 2p 本です。一般解はこのようになりました。a と b は全て実数です。

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(p,1)-lens space の fundamental surface を全て求めました。結果、P_A , P_B , P_C とおよびこれらと回転対称なものになりました。ただし、P_C は p が偶数のときのみ出てきます。これら３つの表す曲面を調べます。

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まず、P_A です。P_A は τ₁ から τ_p まで全ての四面体に X_k1 disk が一枚ずつあります。これら全てを貼り合わせると中心軸 α を取り囲むトーラスになります。

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次に P_B です。P_B は τ₁ には square type の disk が 1 枚、τ₂ には 2 枚、τ₃ には 1 枚入っています。貼り合わせを考えると、図のように triangle type の disk が継ぎ足されます。これらを貼り合わせると辺 e₂ を取り囲む球面になります。

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次に P_C です。P_C は τ₁ から τ_p まで square type の disk が 1 枚すつあり、X_k2 , X_k+1,3 disk が交互に入っています。これらを貼り合わせると p/2 個の射影平面の連結和になります。essential 球面は出てきませんでした。(p,1)-lens spaceは素な多様体であることが分かります。

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続いて、(p,2)-lens space の fundamental surface も全て求めました。中心軸 α を取り囲むトーラス、辺を取り囲む球面が出てきます。(p,1)-lens space のときと異なり、向き付け不可能曲面は出てきませんでした。

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続いて、(p,3)-lens spaceです。(p,3)-lens spaceは現在研究中です。(8,3)-lens spaceに出てきた曲面を紹介します。これは (8,3)-lens space の fundamental surface の１つです。貼り合わせると、向き付け不可能閉曲面のクラインの壷になります。