卒業研究発表「closed 3-braid の 3 彩色の階数」富士静江（仮名）

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富士静江です。closed 3-braid の３彩色の階数について研究しました。

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3-braid は σ₁, σ₁^-1, σ₂, σ₂^-1 を積み重ねて得られます。この例は、3-braid σ₁²σ₂^-1σ₁^-1σ₂² です。3-braid 全体の集合は積み重ねを積と見なして群となります。

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braid の関係式を説明します。逆元がすぐ上またはすぐ下にくるとcancelします。絡み目の図ではライデマイスター変形IIと言います。下の図の σ₁σ₂σ₁＝σ₂σ₁σ₂ はbraid 特有の関係式です。絡み目の図ではこのような三角形の変形をライデマイスター変形IIIと言います。

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closed 3-braid とは3-braid の上と下を図のように繋いだものです。

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closed 3-braid では逆元も同じ絡み目になります。b の closed 3-braid に対して、このように RII 変形によって２つの交差点を作ります。交差点をそれぞれ矢印の方向へ移動させて c^-1, c と置きます。c^-1 b c と b は同じ絡み目です。

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絡み目の図が３彩色されているとは次の１,２,３を全て満たすこととします。
　１．各線が３色のうちの１色で塗られている。
　２．絡み目全体で少なくとも２色以上使われている。
　３．各交差点は１色のみ、または３色の線たちで構成されている。
左の図は３彩色されていて、右の図はこの交差点が条件３に反しているので３彩色されていません。
定理。３彩色可能な図の表す結び目はほどけない。３彩色不可能な図の表す２成分以上の絡み目ははずれない。

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３彩色の階数とは、３彩色の色の塗り方のパターン全ての数です。例えば、三つ葉結び目の３彩色の階数は９であり、３彩色のパターンの数が３彩色の階数です。ただし、１色のみのパターンも数えます。
定理。同じ絡み目を表す２つの図の３彩色の階数は等しい。

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事実。３彩色の階数のいくらでも大きな結び目が存在する。三つ葉結び目ｎ個の連結和の３彩色の階数は 3ⁿ⁺¹ です。

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結論。closed 3-braid の３彩色の階数は３、９または２７であることを示すことができました。

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補題。絡み目の図は±３ねじれの部分を０ねじれと置き換えても３彩色の階数は変わらない。

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先程の補題を用いて交差点の数を減らすことによって、全ての closed 3-braid は交差点の数が０、１、２、または三つ編型の４個となります。０個のとき３彩色の階数は２７、１個のとき９、２または４個のとき３です。

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補題。三つ編型８交点に＋３ねじれや−３ねじれたちを加えることによって０交点に変形できることを示します。まず、三つ編型８交点に３ねじれを加えて（１番目の図から２番目へ変形）、RII 変形で二角形を消します（２番目の図から３番目へ変形）。RIII 変形をします（３番目の図から４番目へ変形）。次に、この２ねじれに

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−３ねじれを加えて−１ねじれにします（１３枚目の最後の図から１４枚目の１番目の図に変形）。RIII 変形をします（１番目の図から２番目へ変形）。次に２ねじれ（上のオレンジ色の四角）に−３ねじれを加えて−１ねじれにし、−２ねじれ（下のオレンジ色の四角）に３ねじれを加えて１ねじれにします（２番目の図から３番目へ変形）。そしてこのひもたちをほどくと０交点になります（３番目の図から最後の図へ変形）。

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３ねじれも三つ編型８交点もないときにどうやって交差点を減らせるか例を挙げます。例として、この closed 3-braid の交差点の数を減らします。まず RIII 変形をして、この交差点（ピンク色）を共役をとって矢印の方向へ移動し、この−２ねじれ（オレンジ色）に３ねじれを加えて１ねじれにします。この２ねじれ（オレンジ色とピンク色）に−３ねじれを加えて−１ねじれとし、交差点の数が２個となります。以上です。