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渡辺智恵です。
私は、Borromean rings 外部における normal surface 理論について調べました。
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３次元球面 S3 とは、２つの球体の表面同士を貼り合わせたものです。
Borromean rings とは、図のような S3 内の絡み目です。
また、split link とは link の輪っかたちを分け隔てる２次元球面があることで、その球面を split 球面といいます。
Borromean rings が split link でないことを示します。
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Borromean rings外部とは、S3 から Borromean rings の近傍の内部をくり抜いて残った部分です。
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外部を多面体分割します。
補助線１〜６を与え、８枚の補助曲面を導入し、それに沿って外部を切ります。
赤、茶、紫の曲面は回転対称であり、ピンク、緑、青の曲面も回転対称です。
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赤とピンクの曲面はこうなっています。
各曲面のフチの結び目のひも部分を縮めるとそれぞれほぼ３角形になります。
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黄色とオレンジの曲面もほぼ３角形になります。
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８つの曲面に沿って外部を切ると曲面たちの手前の領域と奥側の領域とで２つの truncated ８面体ができます。
正８面体の角が削られて小さな４角形ができています。これが結び目の近傍をくり抜いた時のトンネルの壁面です。
multiplicity m(e) は e が多面体たちの表面に現れる「のべ」の回数です。
この分割では、３角形のどの辺も４回ずつ現れます。multiplicity は全て４となります。
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多角形内の normal arc とは、異なる辺を結ぶ arc です。
また、多面体内の normal disk とは、disk のフチが多面体の表面にあり、
それが normal arc をつなげたものになっていて、多面体の同じ辺を２回以上横切らず、隣り合う normal arcs が異なる面上にある disk をいいます。
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多面体分割された３次元多様体内の閉曲面 Ｆ が normal surface であるとは、Ｆ と各多面体との交わりが０以上有限枚の互いに交わらない normal disks であることです。
定理 split 球面は normal surface に変形できます。split 球面を探す時は、normal surface だけ考えればよいのです。
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truncated ８面体の normal disk で、切り口の４角形を通らないものは、頂点を１つと５つに分ける１：５disk と辺を囲む２：４disk、
面を取り囲む３：３disk(Ａ)、そうでない disk(Ｂ) の４種類のみです。
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オイラー標数の貢献値を定義します。
Ｑ を normal disk とします。Ｑ の貢献値 χ’ をこの式で定義します。ｖ を Ｑ の頂点とします。
ｖ を含む多面体分割の辺を Ｅ とすると、ｖ の weight ｗ(ｖ) は Ｅ の multiplicity 分の １ であると定義します。
それを全ての頂点 ｖ にわたって足し合わせます。
「事実」 normal surface Ｆ のオイラー標数は、Ｆ を構成する全ての normal disk の貢献値を足し合わせたものに等しくなります。
Borromean rings 外部の場合、全ての辺の multiplicity が ４ だったので、ｖ の weight は常に １/４ です。
Ｑ の頂点の数を ｎ とおくと、貢献値は χ’(Ｑ)＝１−１/４ になります。
よって、normal disk の貢献値は全部 ０ 以下です。
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Borromean rings 外部には split 球面が存在しないことを示します。
split 球面があるならば、それを normal surface に変形できるのでした。
球面のオイラー標数は ２ で正の数です。
normal disk の貢献値 χ’(Ｑ) は、全て ０ 以下なので normal disk をいくら貼り合わせても球面は出来ないことがわかります。
よって、split 球面が存在しないので Borromean rings が外（はず）れない絡み目であることが証明できました。
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normal surface は２種類見つかったので紹介します。
まず、τ1 内のこの ２ 枚の４角形の disks と τ2 内のこの２枚を張り合わせると torus になり、Borromean rings の１つの輪っかを取り囲んでいます。
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次にτ1 内のこの２枚とτ2 内のこの２枚を張り合わせると double torus になり、Borromean rings との位置関係はこうなります。