卒業研究発表「三つ葉結び目外部における normal surface 理論」米村知香

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米村知香です。三つ葉結び目外部における normal surface 理論について調べました。

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３次元球面 S³ とは、２つの球体の表面同士を貼り合わせたものです。これは、S³ 内の三つ葉結び目です。

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結び目外部とは、結び目の近傍を３次元球面からくり抜いて残った部分です。

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三つ葉結び目を変形して、補助線を引きます。この４つの面を補助線のところだけで交わるように配置して、４つの面全てに沿って結び目外部を切り開くと、この２つの多面体 τ₁と τ₂ に分割されます（下段の図１番目と３番目）。表面の球面上の辺たちを１ヶ所に寄せ集めると、この図になります（２番目と４番目）。多面体分割の辺の multiplicity は、多面体の表面に辺として含まれる数です。この場合、矢印つきの辺の multiplicity は各々６で、矢印のつかない辺は２です。赤い辺は、６回現れるので multiplicity は６です。
　（［数学者の方々への注意]　奇妙な分割だと思われるかもしれませんが、truncated 四面体分割の途中図なのです。実際、τ₁ と τ₂ のそれぞれは２つの truncated 四面体に分割できます。）

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結び目がほどけるとき、結び目の外部は essential disk を含みます。essential disk のフチは、Seifert 曲面のフチと一致することが知られています。Seifert 曲面とは、結び目をフチとする向き付け可能曲面で、三つ葉結び目の場合このような曲面です（次のＯＨＰシート参照）。

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この斜線部分が Seifert 曲面です（上段の図）。そのフチは、τ₁, τ₂ の表面上では、オレンジの線たちに分解されます（下段の図）。

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Q が多面体内の normal disk とは、Q と多面体の表面の共通部分が Q のフチになっていて、そのフチが以下の条件を満たすものです。多面体の頂点は通らない。多面体の辺を１回以上横切り、同じ辺を２回以上横切らない。Q の隣り合う２辺は異なる面上にある。下段の右の図は、同じ面を続けて通るので normal disk のフチではありません。

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結び目外部が essential disk を含むならば、それを取り直して、Seifert 曲面とフチが一致し、しかも normal surface になっているようにできます。これを使って、三つ葉結び目がほどけないことを証明します。

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オイラー標数への貢献値を定義します。各 normal disk Q に対して、χ’ をこのような式で定めます。Q の頂点 v を含む多面体分割の辺を E とすると、v の weight は 1/m(E) です。m(E) は辺 E の multiplicity です。Q の辺 e を含む多面体分割の面を F とすると、e の weight は F が結び目外部の表面に含まれるか否かで 1 または 1/2 と定めます。すると、normal surface のオイラー標数は normal surface を構成する normal disk たちのオイラー標数への貢献値の和と等しくなります。
　２角形・４角形の辺（黒い辺たち）上に a 個、赤・青の辺上に b 個の頂点を持つ normal disk を a：b-disk と呼びます。各 a：b-disk のオイラー標数への貢献値は、このような式で求まります。

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Seifert 曲面のフチをフチとする disk で normal surface になっているものが存在するか考えます。disk のオイラー標数は＋１で、貢献値が０より大きい normal disk は 2：1-disk の 1/6 と 0：2-disk の 1/3 の２種類のみです。

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奥側の球体に 0：2-disk があるときを考えます（上段左の図）。手前側にあるときは、ややこしいので省略します。0：2-disk の辺 e₁〜e₄ は、手前側ではこのような位置にあります（上段右の図）。これらのうち３辺以上を辺に持つ normal disk は存在しません。例えば中段の図の場合、「あ」の点はどこにもつながりません。e₁〜e₄の２辺か１辺を辺に持つとき、normal disk はいろいろありますが、いずれも貢献値は −1/3 以下です。２角形の枚数をｎとすると、２角形に隣接する normal disks はｎ枚以上になり、貢献値の合計は２角形たちが 1/3n, 隣接する normal disks たちが−1/3n 以下となります。それらを足し合わせると０以下となり、0：2-disk はプラスに貢献しないことがわかります。

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したがって、貢献値が 1/6 の 2：1-disk だけを考えます。disk のオイラー標数は１なので、2：1-disk は最低６枚必要になります。2：1-disk は Seifrt 曲面のフチの関係で、手前側に４枚、奥側に２枚までしかありえませんが、手前側に４枚配置すると、それらの辺たちは奥側ではこのような配置になるので、奥側には１枚も 2：1-disk ができないことがわかります。よって、essential disk は存在しないので、三つ葉結び目はほどけないことが証明されました。