卒業研究発表「satelliteを表すtorusとdecomposing sphereの位置関係」石塚明子

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これから林ゼミの発表を始めます。 私は、satelliteを表すtorusとdecomposing sphereの位置関係について研究しました。

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arcαがball Bに入っていて、端点だけがballの表面にある場合を考えます。 arcαがtrivialとは、図のようなdisk Dがあることです。 αがDのフチの一部で、かつフチの残りの部分がBの表面上にあります。

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knot Kがcompositeであるとは、図のような球面Sがあることです。 SはKと2点で交わり、かつSの外側のballも内側のballもKとtrivialでないarcで交わります。 このようなSをdecomposing sphereと呼びます。

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solid torusとは、diskとcircleの積空間と同相な位相空間のことです。 disk×1点のdiskをmeridian diskといいます。

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knotの中にあるknotをsatellite knotといいます。 正確にいうと、solid torusとその中のknotの組をpatternといいます。 それを３次元球面S³内のnon-trivial knot Lに沿って配置すると、satellite knot Kができます。 Lをcompanion knotといいます。 ただし、

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ＫはVの中のballに収まっていてはいけません。 また、Vの1点×circleと同じknotではいけません。

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Vをsolid torus、KをV内のknotとします。 Kがlocal knotをもつとは、V内に図のような球面Sがあることです。 SはKと2点で交わり、Sの内側のballとKの交わりがtrivial arcではありません。

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一般に、compositeならばsatelliteであることが知られています。 decomposing sphereはknotによって2点で穴をあけられます。 穴を広げて、そこに結び目のarcに沿ったannulusをつけると、Kのcomposite成分を1つfollowし、もう1つをswallow、つまり飲み込むtorusが得られます。 これをswallow follow torusと呼びます。

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正確には、satelliteを表すtorus Tがswallow follow torusであるとは、S³内で図のようなdisk Dがあることです。 DはTとフチだけで交わり、Kと1点で交わります。 一般に、swallow follow torusがあると、knotがcompositeになることが知られています。 TのcopyをDで切り、切り口にDのcopyを2枚張りつけると、decomposing sphereができます。 これはlocal knotを囲みます。

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結果1。 KをS³内のsatelliteかつcomposite knot、Tをsatelliteを表すtorus、Sをdecomposing sphereとします。 Sを(S³、K)でisotopyすると、(1)(2)のいずれかに変形できます。 (1)SとTの交わりがなくなり、Sはlocal knotを囲む球面となります。

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(2)S∩Tのcirclesはsolid torus Vのmeridian circleになっており、S-K上でも平行で、S∩Kの2点をS上で分け隔てています。 また、S∩Tのcirclesの総数は偶数本です。 SをS∩Tのcirclesで切ったとき、disk componentが2枚生じ、そのそれぞれがVのmeridian diskになっています。 annulus componentのうち、Vの外側にあるものは、companion knotのdecomposing sphereとなっています。 また、Vの内側にあるものは、local knotに沿ったannulusとなっています。 全体図は例えばこのようになります。（次のシートを見て下さい。）

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(1)(2)のいずれもlocal knotをもちます。 (2)はswallow follow torusになっています。

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結果2。 結果1の(2)で得られたsatalliteを表すtorusについて、Kのcomposite成分を2つ以上followし、1つ以上swallowするとき、KとTを固定しておいて、SとTの交わりのcircleがいくらでも多い偶数本となるdecomposing sphere Sをつくることができます。

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S∩Tのcirclesが10本のときの例です。 緑色の曲面は、いくつもあるかのように見えますが、ひとつながりの球面です。 S∩Tのcirclesは偶数本であればいくらでも増やすことができます。

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S∩Tのcirclesが2n本のときの例です。 この交わりが本当に減らないことの証明は、私にはできませんでしたが、後輩の方々に期待したいと思います。