卒業研究発表「genus 1 の Seifert surface を持つ alternating knot」西牧ちひろ

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私は"genus 1 の Seifert surface を持つ alternating knot" の研究をしました。

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まず、1991年にメナスコとシスルスウェイトが証明した定理を紹介します。
KをS³内にあるknotとし、このKに対してalternating, reduced かつ prime なKのdiagram Dが存在するならば、Kはほどけない。
左はほどけたknotです。真ん中はくねくね動かすことによってほどけます。右のknotはさきほどのものと交差点が一箇所違うだけですが、くねくね動かしてもほどけません。
私はこの定理の証明をonce punctured torusの縁となるknotの場合にも真似をし、研究を進めました。

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KをS³内にあるknotとし、Fを埋め込まれた向き付け可能曲面とします。図のようにKがFのフチとなるとき、FをKのSeifert surfaceと呼びます。

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Seifert surface Fがcompressibleであるとは、Kと交わらないdisk Dで、"FとDはDの縁のみで交わり"かつ"Dの縁はF上のdiskの縁とならない"ものが存在することです。compressibleでないとき、incompressibleと言います。

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以下、KをS³内にあるnon-trivial knotとし、FをKを縁とするonce punctured torusとします。図の左の曲面は右のものと曲面として同相です。事実として、このときFはincompressibleになっています。

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結び目Kを太くしたものをN(K)とします。さらにS²₊（２つ前の学生K.T.の発表を参照して下さい）をN(K)の分持ち上げます。この持ち上げたものを新しいS²₊とし、新しいS²₊とその上の領域を新しいB³₊とします。S²_-とB³_-も同様にしておきます。

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図のようにFの縁はN(K)の境界トーラス上にあり、S²₊やS²_-と有限個のarcsで交わっています。しかし、誤解の無い範囲でN(K)を細く描きます。

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結果を紹介します。
曲面Fは縁を止めたままisotopyして、次に示す条件(i)〜(vi)をみたすように動かすことができます。

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(i) FはFの縁付近でbubbleに垂直で、bubbleの外側にあります。

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(ii) Fは各bubbleの内側の3-ballと図のようなsaddleの形のdisksの集まりで交わっています。このようなdiskが3-ball内に平行に何枚かあります。

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(iii) FとB³₊の交わりとFとB³_-の交わりは有限枚のdisksのdisjoint unionになっています。

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(iv) Fの内部はS²₊, S²_-の各々と有限個のarcsで交わります。この図では交わりのarcsは４本です。 Fの内部とS²₊またはS²_-のcirclesの交わりはisotopyでなくすことができます。

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(v) FとS²₊の交わりのcircle Cの各々に対して、Cは同じbubbleと２回以上交わりません。右下の図はCがKに乗り上げてbubbleを２回通っています。

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次の条件(vi)の準備として、adjacentとは何か説明しておきます。adjacentとは図のような、Fの縁とS²₊の交わりのarcの両端点のことを言います。S²_-についても同様です。

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(vi) αをFの内部とS²₊の交わり、あるいはS²_-との交わりのarcとします。このとき、図のようにαの端点がK上でadjacentならば、αは少なくとも２つのbubbleと交わります。

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今述べた結果のように、diagramに対して「綺麗な」位置にあるonce puctured torusの具体例を紹介します。この図のknotが張るSeifert surfaceを調べました。

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knotにSeifert surfaceを張ると、上の図のようになります。この曲面を(i)〜(vi)の条件を満たす「綺麗な」位置に変形すると下の図のようになります。この曲面は「丸あ」〜「丸け」のsurfaceがB³₊側とB³_-側が交互になるように、a〜jのarcsのところで繋がっています。

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このa〜jのarcsをonce punctured torusの見慣れた図に描くと、図のように綺麗に描くことができます。

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これを一般化します。上の図のような2k crossings, 2n crossingsを持つknotのgenus 1 の Seifert surfaceは下の図のように平行な 2k本のarcsと平行な2n本のarcsでS²₊ ∩ S²_- と交わります。