卒業論文発表 ｢Solid torus の Q-fundamental surface｣ 本間亜裕美

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本間亜裕美です。
私は S² × S¹ の Q-fundamental surfaceについて調べました。

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S² × S¹ は２次元球面が輪っか状に積み重なったものです。 これをこの２次元球面で切ると、２次元球面に厚みをつけたものと同相になります。さらにこの赤道面上のアニュラスで切って平らにすると円柱が２つできます。円柱は三角柱と同相です。

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次に辺と面の貼り合わせを考えます。元々くっついていた辺や面には、同じ向きで同じ名前を付けます。三角柱のてっぺんと底面は素直に貼り合わさります。その際、頂点ＡはＤと、ＣはＦと、ＢはＥと貼り合わさります。ピンクの三角形も同様です。側面も同じ色の四角形同士が貼り合わさります。その際、頂点ＡとＡ´のように｢´」ありとなしの頂点が合わさります。

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これを四面体分割すると、このように６つの四面体に分かれます。 左の三角柱は四面体ＡＢＣF，ＡＢＥＦ，ＡＤＥＦの３つに分けます。 右の三角柱は左のと左右対称に分割します。

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　fundamental surfaceの理論をTollefsonが簡単化した、Q-理論を紹介します。
　各四面体内のnormal disk typeは三角形型の円盤のT-diskが図の通り４種類、四角形型のQ-diskが３種類、合計７種類あります。

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normal surfaceの定義を紹介します。 Mを閉３次元多様体とします。 Ｍ内の曲面で各四面体との交わりがnormal disks 0枚以上有限枚のdisjoint unionになっている曲面のことを言います。 ※disjoint union とは互いに交わらない集合たちの和集合です

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square conditionについて述べます。 １つの四面体の中に２種類以上のQ-diskが存在すると交差してしまいます。交差のない曲面を考えたいので各四面体内にQ-diskは高々１種類とします。これがsquare conditionです。

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　Q-matching equationの定義を説明します。 ｔは四面体分割の四面体の数、e₁〜e_m は 四面体分割の辺たちとします。 四角形の normal disk の type たちに X₁ 〜X_3t まで番号を付けます。 e_k を四面体分割τのｋ番目の辺とします。 このときsenseを以下のように定義します。 e_kを手前に縦におきます。 そのとき、左肩上がりQ-disk X_i に対して sense は＋１、 右肩上がりQ-disk X_j に対して sense は−１、 e_k と交わらないQ-disk X_l に対して sense は０と決めます。
　各辺e_k に対して sense たちを係数とする方程式を立てます。 Ｆを normal surface とします。 小文字の x_i を normal surface F を構成する type X_i の normal diskの枚数とします。 Ｆベクトルを x_i たちを並べたベクトルとします。 これをＦの Q-coordinates と言います。Ｆベクトルはこの連立方程式、 the Q-matching equations の解になります。 これは左肩上がりのdisksと右肩上がりのdisksが同じ数だけ e_k のまわりにあるということです。

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　Q-fundamental surface の定義を説明します。 normal surface F が Q-fundamental surface であるとは、 ＦベクトルがＦ₁ベクトル＋Ｆ₂ベクトルと分解できるような normal surfaces の組Ｆ₁，Ｆ₂ が存在しないことを言います。
　separatingの定義を説明します。 Ｍを閉３次元多様体、ＦをＭ内の閉曲面とします。ＭをＦで切ったときに、弧状連結成分の数がＭより多くなったらＦはseparating、切る前と同じならnon-separatingであると言います。

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結論。
Ｓ² ×Ｓ¹ の Q-fundamental surface は９個になりました。
Ｓ² ×１点と isotopic な non-separating な essential 球面が６つになりました。
１点×Ｓ¹ の形の辺を取り囲む separating なトーラスが３つになりました。 これは Heegaard splitting torusになります。

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non-separatingなessential球面の例を２つ図示しました。 上の図は辺ＢＥと１点で交わっています。頂点ＢとＥが貼り合わさって輪っかになっているので、この曲面はnon-separatingになります

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次に separating なトーラスの例を１つ図示しました。 これは circle AD を取り囲むトーラスになります。 先ほどの細貝さんの計算と違って Q-fundamental surfaces の中に Heegaard splitting torus が現われました。以上で発表を終わります。