卒業論文発表 ｢2-bridge link の p 彩色可能性｣ 榑松（ペンネーム）

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私は 2-bridge link L([-2,N]) の p 彩色の階数を求めました。

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　p 彩色の定義を紹介します。 p を２以上の自然数とする。ある link diagram が次の条件を満たすとき p 彩色されているという。

• 各 strand に 0 から p-1 までのどれかの数が与えられている。
• 各 crossing に集まる、下の道の strand に与えられた数を x と y, 上の道の strand に与えられた数を z とすると x+y≡2z (mod p) が成り立つ。これを「交差点条件」と呼ぶ。

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この絡み目を 2-bridge link の L([-2,N]) といいます。 結論は「2N-1 と p の最大公約数が t ならば、p 彩色の階数は tp となる。 t ≧ 2 のとき p 彩色可能となる。」

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各 crossing に 1 〜N+2 まで番号をつけます。 同様に各 strand にも e₁ 〜 e_n まで番号をつけ、 できた連立方程式を解きます。n=N+2 と置きました。

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２行目の (2,1) 成分の１を要にとり、１行−２行を行う。

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計算を続けていくと、このような行列に変形できました。

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これを方程式に書きなおすと、この形になります。 p の倍数は何でも p' と書いています。 e_n-1 と e_n が決まれば、 e₁ 〜 e_n-2 は１つに決まる。 よって e_n-1 と e_n の組み合わせの数が分かれば階数が求められる。

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mod p で計算すると、このような形に書くことができます。 この式を使って階数を求めていきます。 ここで１行目の式を * と置く。

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(i) 2n-5 と p の最大公約数が１ならば、簡約公式より * の式は
e_n-1 ≡ e_n　(mod p)
∴ p 彩色の階数は p
(ii) 2n-5 と p の最大公約数が t ならば、簡約公式より * の式は
e_n-1 ≡ e_n　(mod p/t)

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e_n =0 のとき、0 から p-1 の中でこの式を満たす e_n-1 は t 個あります。
e_n =0 のとき t 個, e_n =1 のとき t 個, ... e_n =p-1 のとき t 個と、t 個あるものが p 個あります。 よって t × p = tp
そして、e₁ 〜 e_n-2 は e_n-1 と e_n によって決まるので、 p 彩色の階数は tp です。 これで結論が証明されました。