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私は S2×S1 を２つの４面体に分割し、そのfundamental surfaceを求めました。
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コンパクトハウスドルフ位相空間Xが閉3次元多様体であるとは、X の任意の点の周りに上手く開近傍がとれてそれが開球体と同相になることです。
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S2×S1 とは2次元球面をわっか状に積み重ねてできる閉3次元多様体です。
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２つの4面体の面たち2枚1組で計4組を、図の様に同じ色の面が矢印が合わさるように貼り合わせます。例えば、緑の△ABDと△EHFが貼り合わさります。得られる図形をMとおきます。Mは閉3次元多様体です。
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結論1。
Mは S2×S1 と同相です。
図の3角形や4角形は1枚の球面の断片です。
これらで切って4面体の表面の貼り合わせを実現すると、
球面に厚みをつけたものになります。
先程切った球面のコピーが一番内側と外側にあります。
それらを貼り合わせ戻すと S2×S1 になります。
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fundamental surfaceの理論を紹介します。
normal diskとは、4面体内の図の様な3角形や4角形の円盤のことです。
３角形タイプが4種類、４角形タイプが3種類あります。
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Mを3次元多様体、τをMの4面体分割、FをM内の閉曲面とします。
Fがnormal surfaceであるとは、Fはnormal diskたちを貼り合わせた物であるということです。
ただし、同じ４面体の中で折り返すのは反則です。
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4面体分割の面の別々の辺を結ぶarcをnormal arcといいます。
各normal arc typeに1本ずつ方程式をたてます。
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定義 the matching equations。
normal disk typeにX1 からX7t まで番号を付けます。
ｔは4面体の数、
Ｆはnormal surface、
スモールｘi はＦ内のXi タイプのnormal disksの枚数、
ベクトルPF はスモールｘi を並べた7t次元列ベクトルです。
４面体たちの面△と面△´が貼り合わさるとします。
△と△´の赤い normal arc たちが貼り合わさるとします。
これらのnormal arc typesを辺に持つnormal disksの枚数が等しいはずです。
つまり、 ｘp+ｘq = ｘr+ ｘs となります。
この方程式が全てのnormal arc typeに1本ずつたてられ、
それらの同次連立1次方程式をthe matching equations といい、AX＝Oと書きます。
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不等号を定義します。
ベクトルｐ≧ベクトルｑ とは、
ベクトルｐの各第i成分がベクトルｑの各第i成分以上のときをいいます。
また、
ベクトルｐ＞ベクトルｑ とは
ベクトルｐ≧ベクトルｑ かつ ベクトルｐ≠ベクトルｑのときをいいます。
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normal surface Fがfundamental であるとは、
ＦのベクトルＰF に対し、
0より大きくベクトルＰF より小さい任意の整数ベクトルＰF´が
the matching equationsの解ではないことです。
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定理。
閉３次元多様体M内に３次元球体の表面にならない球面があれば、その球面をfundamental surfaceに変形できます。
この様に、重要な曲面はfundamental surfaceを調べれば見つかります。
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結論2。
2つの4面体から成る のfundamental surfaceは、
｢唯一の頂点を取り囲む2次元球面｣
｢Ｍを２つの領域に分割しない2次元球面」
｢クラインの壺｣
｢1本の辺を取り囲むtorus｣ の4種類でした。
先程の定理のとおり３次元球体の表面にならない球面が見つかりました。
また、fundamental surface には Heegaard splitting torus は現れませんでした。
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Heegaard splitting torusとは、
向き付け可能閉3次元多様体を2つのsolid torusに分けるtorusのことです。
solid torusとはdiscをわっか状に積み重ねたものです。
S2×S1 はHeegaard splitting torusを持ちますが、fundamental surfaceとしては現れませんでした。