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私は、5次元射影空間の単体分割について調べました。
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5次元単体とは、この式で表されるものと、表面の分割も含めて同相なもののことを言います。
5次元単体は、表面が6つの4次元単体に分割されていて、それらが貼り合わさって、表面の4次元球面になっています。
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5次元射影空間とは6次元空間から0ベクトルを除いたもので、原点を通る直線上の点を全て同一視したものです。
次の結果が得られました。
5次元射影空間は、8個の5次元単体に分割することができ、0次元単体が4個、1次元、2次元、3次元、4次元、5次元 がこの個数で、オイラー標数は0になります。
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5次元射影空間の捉え方を説明します。
5次元射影空間は、5次元球面の、6次元空間内での原点対称な2点を同じと見なしたものです。
ｗｔｓ−3次元空間の1点1点に、ｘｙｚ−3次元空間の平行コピーが配置されていると考えて、6次元空間を認識します。
この図のように、ｗｔｓ−3次元空間の原点のところで、ｘｙｚ−3次元空間と5次元球面との交わりは、2次元球面です。
これを中心にして、ｗｔｓ−3次元空間のありとあらゆる方向に、球面が小さくなりながら、1点に収束するまで積み重なっています。
収束点たちは、ｗｔｓ−3次元空間の原点からの距離が１のところにあります。
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5次元射影空間では6次元空間の原点に関して対称な点を同一視するので、下半球の点たちを上半球の点たちで代表させて省略するとこのようになります。
まだ、ｓ＝０のところで同一視すべき点たちがありますが、それは後で説明します。
ここで、この図をS軸のほうから見て、ｓ＝0の5次元空間に射影します。
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ｓ軸方向がつぶれ、各点（ｗ,ｔ,0）におけるｘｙｚ−3次元空間のコピーに球体が入った状態になります。
半径1の3次元球体を中心にして、ｗｔ−2次元平面のあらゆる方向に、球体が徐々に小さくなりながら1点に収束するまで積み重なっています。
これはｓ＝0 の５次元超平面内の５次元球体になっています。
射影空間とみなすときは、表面の４次元球面の中心点対称な２点たちを同一視します。
この５次元球体を分割していきます。
まず、真ん中の４次元球体で切り、2個に分かれます。
次に、それぞれの真ん中の4次元半球体で切り、全部で4個に分かれます。
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次に、それぞれの球体の赤道面がｗｔ平面の方向に積み重なったもの、すなわち4次元球体の4分の1に沿って切り、全部で8個に分かれました。
それぞれに番号をつけます。
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この8個に分かれた５次元球体が、それぞれ5次元単体と見なせることを確認していきます。
1番の８分の１球体に頂点、辺などの位置を決めます。
他の８分の１球体はそれと対称に決めます。
まず、頂点は、この、Ａ、Ａ´、Ｂ、Ｂ´、Ｃ、Ｄ、の6個です。
次に辺は、全部で15本ありますが、図はそのうちの1つの辺ＡＣです。
赤道上の点Ａがｔ軸方向に持ち上がっていく軌跡です。
次に面は、全部で20枚ありますが、図はそのうちの1つの面ＢＣＤです。
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次に3次元単体は、全部で15個ありますが、図はそのうちの1つの3次元単体ＡＡ´ＤＣです。
上半球面上の円弧ＡＡ´がｗｔ平面方向に積み重なったものです。
次に4次元単体は、全部で6個ありますが、図はそのうちの1つの4次元単体ＡＢＡ´ＣＤです。
右上の４分の１球面がＡＢＡ´がｗｔ平面方向に積み重なったものです。
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次に貼り合わせ方の紹介をします。
5次元単体たちは表面の4次元単体同士で貼り合わさります。
図の1番と2番はオレンジ色の４次元単体で同じ位置なので張り合わさります。
1番と8番は緑で貼り合わさりますが、これは射影空間を考えているので、中心点対称の同一視によります。
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次にオイラー標数をもとめるために、各次元の単体の数え方を説明します。
まず頂点は、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの4つと数え、中心点対称によって、それぞれＡ´、Ｂ´、Ｃ´、Ｄ´と同一視されます。
次に辺は、例として、ＡＢとＡ´Ｂ´、また、1番と8番のＡＣとＡ´Ｃ´などが同一視されます。
次に面は、例として、１番と８番のＡＢＣとＡ´Ｂ´Ｃ´などが同一視されます。
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次に３次元単体は、例として、１番のＡＡ´ＢＣと８番のＡ´ＡＢ´Ｃ´などが同一視されます。
４次元単体は、先程の貼り合せの数が、そのまま４次元単体の数です。
５次元単体は１番から８番までの８個です。