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鈴木知瑛です。
私は Hopf link exterior の Q-fundamental surface について研究しました。
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まず最初に、３次元球面 S3 とは、４次元空間 R4 の部分集合で、方程式 x2 + y2 + z2 + w2 = 1 によって表されます。
また, S3 は３次元空間 R3 の果てに無限遠点を付け加えたものと同相です。
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次に、Hopf link exterior を定義します。
まず、この左上の絡み目を Hopf link と呼びます。
この近傍のドーナツたちを S3 から繰り抜いて残った部分、
つまり、右下図の青い部分が Hopf link exterior です。
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実は、Hopf link exterior はトーラスに厚みをつけたものと同相です。
このオレンジの２つの輪が Hopf link です。
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先程の図をこのオレンジのアニュラスに沿って切ると、
アニュラスに厚みをつけたものになります。
また、これをオレンジの４角形に沿って切ると、
図１のような立方体になります。
図１の天井面の f1 と底面の f1 が貼り合わさり、
左側の f2 と右側の f2 の面が貼り合わさって、
元のトーラスに厚みをつけたものができます。
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次に、Hopf link exterior を４面体分割します。図２に立方体を以下のように４面体分割します。分割された四面体それぞれに τ1 から τ6 まで番号をつけます。また、４面体の辺に向きと番号をつけます。元々貼り合わさっていた辺は同じものと見なすので、辺は全部で１０本となりました。
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結果。
Hopf link exterior の Q-fundamental surface は、
linke の２つの輪を分け隔てるトーラスが１個、
separating なアニュラスが８個、
non-separating なアニュラスが６個になりました。
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例えば、例１の上の図は separating な曲面です。
この曲面を取り出し、e1 と e2、
e3 と e4 をそれぞれつなげて１つの辺にし、
それらをそれぞれ e1’と e2’と名付けます。
e1’を貼り合わせ、e2’を張り合わせると、
この曲面はトーラスになりました。
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続いて、例２の上の図は non-separating な曲面です。
この曲面を取り出し、e1 と e2 をそれぞれ貼り合わせると、
アニュラスになりました。
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最後に、例３の図は separating な曲面です。
これらの曲面を取り出して張り合わせると、アニュラスになりました。