↑
石田ひとみです。
私は「自明結び目をほどくReidemeister変形の必要回数の上界に関するＨenrichとKauffmanの論文の翻訳と解説」を行いました。
↑
この論文です。
↑
knot diagramが次の条件を満たすとき、そのdiagramは「Morseの位置」にあるといいます。
１．屈折した点をもたない。
２．交差点では、diagramの接線が水平線と45°の角度をなす。
３．diagramは各水平線と０個または有限個の点で交わる。ただし例外として、有限個の水平線は接点をただ１つもつかただ１つの交差点で交わる。
↑
論文の主定理は、
自明結び目のMorseの位置にあるdiagramは、この式の回数以下のReidemeister変形で交差点無しにできる、
ただしＭは、diagramの交差点数crとdiagramの極大点の数bの２倍の和です。
結論として、論文に書いてある証明は間違っています。
↑
論文の証明の流れを説明します。
まず、自明結び目のn本arcのarc-presentationをexchangeとmergeによってarc２本にするときの変形回数が高々何回ですむかを評価し、
次に、exchange・merge１回が何回のReidemeister変形で実現できるか調べます。
このとき、Aの議論に誤りを見つけました。
それでは@のあらすじから説明します。
↑
まず、Morseの位置にあるknot diagramをレクタングラーdiagramに直し、たてarcの本数を評価します。
次に、たてarcがn本のarc-presentation全ての数を求めます。
すると、n本から(n-1)本にmergeするまでに必要なexchangeの回数が[2]で求めた数以下となり、
ほどくためのexchangeとmergeの回数が評価されます。
ここで[1]が間違っていると思われます。
[1]と先程のAは証明の最も重要な部分なので、そこを説明します。
↑
まず[1]のたてarcの本数の評価です。
論文では、最初にMorseの位置のknot diagramを、極大点・極小点を頂点とした傾き±１の折れ線に変形します。
次にそのdiagramを45°回転させて、たてarc・よこarcのdiagramにします。
必要ならあと90°回転させて、半分以上の交差点でたてarcがよこarcの上を通るようにしておきます。
さらに、たてarcがよこarcの下を通っている交差点については、図のように変形します。
これでレクタングラーdiagramが完成し、たてarcの本数はＭ本以下になります。
↑
しかし次に示すdiagramでは、極大点から出る傾き±１の直線分だけでは全体を実現できません。
よってこの証明は正しくありません。
↑
次にAですが、１回のmerge変形は０回か１回のReidemeister変形で実現できることを、論文では主張しています。
↑
また、１回のexchange変形は(n-2)回以下のReidemeister変形で実現できることを、論文では主張しています。
↑
mergeするarcたちが、arc-presentationでは隣り合っていてもレクタングラーdiagramでは両端にある場合があります。
この例の場合mergeすると矢印の右側の図のようになりますが、merge後のdiagramは１回のReidemeister変形では実現できません。
[1]とAの２箇所でうまくいかない例があるので、この証明は間違っていると思われます。