卒業研究発表「cowrithe が正の無限大に発散する自明結び目の diagrams の無限列」澤田実

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澤田実です。
私は「cowritheが正の無限大に発散する自明結び目のdiagramsの無限列」について研究しました。

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自明結び目とは図１のように、交差点のない図で表される結び目です。空間内で連続的に動かして、交差点なしにできるものも自明結び目です。

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この図は塚本unknotです。従来見つかっているcowritheが正になる自明結び目の図の唯一の例で、cowritheは+1です。

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cowritheが正の自明結び目の図を新たに３つ見つけました。さらにこれを一般のDnに拡張できると予想しました。

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Dｎのdiagramは、真ん中がn―１角形、その周りに３角形がn−１個、さらにその周りにｎ−１個の４角形がｎ−３重に取り囲み、さらにその周りに３角形がｎ−１個あって、一番外側はｎ−１角形になると予想しました。
また交差点の上下は、�@のわっかの上に�A、その上に�B、その上に�Cのわっかがくるように決めます。
cowritheはこの式になると予想します。

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generic plane curve又はspherical curveとは、平面上又は球面上のなめらかな向き付き閉曲線で、自己交差は有限個の交差的な２重点のみのもののことです。この図はgeneric plane curveの例です。

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direct self-tangency pointとは、向きが揃った接点のことです。 inverse self-tangency pointとは、向きが逆の接点のことです。 transversal triple pointとは３重点のことです。

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perestroikaとは、generic　curveの局所的な変形で、direct self-tangency perestroikaとは、direct self-tangency pointを間にはさむ変形のことです。inverseも同様です。いずれもdouble pointが増える方向への変形をpositive、減る方向をnegativeと呼びます。
triple point perestroikaとは、triple pointを間にはさむ変形のことです。符号については次で説明します。
変形前後の三角形に注目します。

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�@ まずdiagramに、どこでもいいので始点をとります。
�A 次に、始点から向きに沿って進み、三角形の辺に到達した順に番号を１，２，３とつけます。
�B そして１，２，３の順に、三角形内部に丸矢印をかきます。
�C diagramの向きと丸矢印の向きが揃えば○、逆ならば×をつけます。
○の数をqとおくと、三角形のsignは(−1)^qと定めます。この例では○は１つなので(−1)¹で、signは−1となります。
triple point perestroikaは三角形のsignが−１から＋１に変化するときpositive, その逆をnegative　と呼びます。

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generic plane curve のArnold invariant J^＋、J⁻、Stを定義します。 各ペレストロイカでの値の変化を定めます。
directなself-tangency perestroikaでは、J^＋はpositiveなペレストロイカで＋２変化します。J⁻、Stは変わりません。
inverseなself-tangency perestroikaでは、J⁻はpositiveな変形で−２変化します。J^＋, Stは変わりません。
triple-point perestroikaでは、Stはpositiveな変形で＋１変化します。J^＋、J⁻は変わりません。
さらに初期値を定めます。

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K_iを図のplane curveとします。各K_iに対してこのように定めます。向きが逆でも同じ値です。
このあと山田さんがこれで矛盾がないことを示します。

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J^＋＋２St,とJ⁻＋２Stはgeneric spherical curveのinvariantであることが知られています。

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HassとNowikの指摘です。Dをknot diagram,、DバーをDの交差点の上下をつぶしたspherical curveとします。
cowrithe = (-1/2)(J⁺ + 2St) + 4 C₂ が成り立ちます。但し、自明結び目のとき最後の項は０です。

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K_ｎをD_ｎバーに変形するときのペレストロイカの回数を調べました。ｎが４から７のとき、表のようになります。
一般のD_ｎバーのとき、この式の回数になると予想を立てました。

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K_ｎのD_ｎバーへの変形変形のｎ＝５の例を紹介します。
（１） わっかに番号をつけます。
（２） �@のわっかに�@以外のすべての輪っかを交わらせます。
（３） �@のわっかの中で、�Aのわっかに�B、�Cを交わらせます。
（４） �Aの中で、�B、�Cを交わらせます。　ここまではinverse self-tangency perestroikaです。
それからtriple-point perestroikaを４回適用して完成です。

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perestroikaの回数からJ^＋, J⁻, Stの値とcowritheの値が求まります。

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越井さんが紹介してくれたReidemeister変形とcowritheの定理より、knot diagram D_ｎを交差点なしにするには、
Reidemeister変形は少なくとも |x(D_ｎ)| 回必要だと分かります。
この式に当てはめて考えると、D_４〜D_７のときに必要なReidemeister変形の回数はこのようになります。
これを一般化するとこのようになると予想されます。