卒業研究発表「絡み目の衛星構造とアーク表示の単調簡単化に関するKazantsevの論文の翻訳と解説」
西川友紀

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西川友紀です。
私は絡み目の衛星構造とアーク表示の単調簡単化に関する Kazantsev の論文の翻訳と解説を行いました。

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この論文です。

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link とは S³ 内の１つ以上の輪です。この例は輪が２つです。

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rectangular diagram とは、縦線と横線でできた link diagram です。ただし、縦線は横線の上を通ります。

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arc-presentation を rectangular diagram に変形します。 arc を水平線と垂直線に変形します。
軸を膨らませた表面の円筒に垂直線を入れておきます。
円筒状の結び目の垂直線のないところに垂直線 l (エル) を引きます。
水平線を軸から外して、

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円筒に押し込みます。 ただし、l (エル) と交わらないようにします。 l で切り開きます。
rectangular diagram の縦線は arc、横線は vertex に対応します。

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arc-presentation の merge, divide, exchange に対応する操作を紹介します。
rectangular diagram での arc merge は、 隣り合う垂直線が同じ１本の水平線とつながるとき、１本に融合します。
divide はその逆の操作です。
vertex merge/divide は縦と横が逆になった操作です。

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vertex exchange は、隣り合う vertex の横線が interleaved でないときに、 それらの高さを交換する操作です。
interleaved とは、一方の横線からでる縦線と、もう片方の横線からでる縦線が交互に並ぶことです。
interleaved のとき exchange できません。
arc exchange は縦線の交換です。

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link L の補空間内の torus T が compressible とは、 以下のような disk が存在することです。
或る disk D が存在して
1. D と L は交わらない
2. D と T は D のフチのみで交わる。
3. D のフチが T 上で disk のフチにならない。
右の図は compressible torus です。
左の図は incompressible torus で、 D のフチは torus T 上の円板を囲っているので上の条件に合いません。

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non-boundary torus とは、link の１つの輪の近傍の表面でない torus です。
左の図の torus は、L₂ の近傍の表面になっているので、 boundary parallel です。 右の図は torus の内側に２つの輪があるので、 non-boundary parallelです。

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essential torus とは 「incompressible」 かつ 「non-boundary parallel」 な torus です。
左の図は、boundary parallel なので inessential torus です。 右の図は essential torus です。

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knot K と link L が合わさって１つの link となっているとします。
R を K∪L の rectangular diagram、K_R を R の K を表す部分、 L_R を R の L を表す部分とします。
以下の 2 つの条件を満たすとき、 L_R が K_R の satellite といいます。
1. C を L_R の輪のいくつかの集合とする。 そのとき、C の頂点たちは K_R の頂点の十分近くにあります。
2. K と L は異なる link 。

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L は link、 L_R を L の rectangular diagram、 T を link の補空間内の essential torus とします。
「L_R で T の構造が見られる」とは、 以下のような knot K が存在することです。
・ K と L を合わせると１つの link となっている。
・ K∪L の rectangular diagram R が存在して、 「L の部分」 L_R は 「K の部分」 K_R の satellite になっている。
・ T は K の或る近傍の表面になっている。

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L を link、 T を link の補空間内の essential torus、 L_R を L の rectangular diagram とする。
「L_R を単調簡単化して torus T の構造が見つけられる」とは、
exchange や merge を使って T の構造がみられるように変形できることです。
ここで、arc を増やす divide は使いません。

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論文の定理です。
link の rectangular diagram L_R と link の補空間内の essential torus T で、
単調簡単化によって T の構造が見られないものが存在する。

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定理の証明をします。
２本の青の輪と２本の緑の輪を分ける essential torus T は存在しますが、
L_R で T の構造は見られません。
また、L_R は merge も exchange もできないため単調簡単化できません。